Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y
reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración
actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo
tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
NUMERACIÓN BINARIA
El sistema de
numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y
el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor
dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una
potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito
menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la
base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para
representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1x2³+ 0x2²+ 1x2¹+ 1x2⁰, es decir: 8
+ 0 + 2 + 1 = 11
Convertir un número decimal al sistema binario
es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y
escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al
que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 : 2 = 38 Resto: 1
38 : 2 = 19 Resto: 0
19 : 2 = 9 Resto: 1
4 : 2 = 2 Resto: 0
2 : 2 = 1 Resto: 0
CONVERSIÓN DE NÚMEROS BINARIOS A DECIMALES
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010011₂ a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1x2⁶ + 0x2⁵ + 1x2⁴ + 0x2³ + 0x2²+ 1x2¹+ 1x2⁰= 83
1010011₂ = 83₁₀
EJEMPLO:
EJEMPLO:
NUMERACIÓN
HEXADECIMAL
En el
sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis
símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los
caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11,
12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el
sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es
lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1x163 +
Ax162 + 3x161 + Fx160
1x4096 + 10x256 + 3x16 + 15x1 = 6719
1A3F16 = 671910
1x4096 + 10x256 + 3x16 + 15x1 = 6719
1A3F16 = 671910
CONVERSIÓN DE NÚMEROS DECIMALES A HEXADECIMAL
108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 1210
6 : 16 = 0 Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden
inverso, resolvemos el número en hexadecimal: 173510 = 6C716
EJEMPLO:
EJEMPLO:
NUMERACIÓN OCTAL
El
inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos
números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de
numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema
hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a
octal o a hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se
representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6 y 7.
Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene
un valor que se calcula así:
2x83 + 7x82 +
3x81 = 2x512 + 7x64 + 3x8 = 149610
2738 = 149610
La conversión de un
número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en
la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y
colocando los restos obtenidos en orden inverso.
Por ejemplo, para escribir
en octal el número decimal 122₁₀ tendremos que hacer las siguientes
divisiones:
122 : 8 = 15 Resto: 2
15 : 8 = 1 Resto: 7
1 : 8 = 0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso
tendremos la cifra octal: 12210 = 1728
EJEMPLO:
CONVERSIÓN DE OCTAL A DECIMAL
La conversión de un
número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada
posición en una cifra octal.
Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2x82 + 3x81 +
7x80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
EJEMPLO:
Código
BCD (Binary-Coded Decimal (BCD) o Decimal codificado). Binario es un
estándar para representar números decimales en el sistema binario, en donde cada dígito decimal es codificado con una
secuencia de 4 bits. Con esta codificación especial de los dígitos decimales en
el sistema binario, se pueden realizar operaciones aritméticas como suma, resta,
multiplicación y división de números en representación decimal, sin perder en
los cálculos la precisión ni tener las inexactitudes en que normalmente se
incurre con las conversiones de decimal a binario puro y de binario puro a decimal.
La conversión de los números decimales a BCD y viceversa es muy sencilla, pero los cálculos en BCD se llevan más tiempo y son algo más complicados que con números binarios puros.
En BCD cada cifra que representa un dígito decimal (0, 1,...8 y 9) se representa con su equivalente binario en cuatro bits (nibble o cuarteto) (esto es así porque es el número de bits necesario para representar el nueve, el número más alto que se puede representar en BCD).
Cada dígito decimal tiene una representación binaria codificada con 4 bits:
EJEMPLO: La codificación en BCD del número decimal 59237 es:
Decimal: 5 9 2 3 7
BCD: 0101 1001
0010 0011 0111
